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数学A

2006.07.16 (Sun)
確率の問題において、以下のような興味深い問題がある

「何人集まればその中に同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるか?」



コレには2つの解釈がある


n人のなかで同じ誕生日の人が少なくとも2人いる確率
(ただし閏年は考えないものとし、誕生日は365日で同様に確からしいとする)


n人の部屋の中に「あなた」が入ったとき、「あなた」と同じ誕生日の人がいる確率
(これも①同様に、閏年は考慮せず、誕生日は365日で同確立とする)


それぞれの考え方でといてみよう

まず①
少なくとも2人いるということは、n人のなかで誰も同じ誕生日がいない確率を求める
2人目が1人目と異なっている誕生日である確率は、364/365である。次に、3人目が1人目2人目と異なる誕生日である確率は363/365である。同様に4人目は362/365、…、n人目は(365-n+1)/365となる。

で、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率は、

となり、nが23のとき、p=0.507...となる。

そして②
n人の部屋に"あなた"が入ったときに、あなたと同じ誕生日の人がいる確率は、

となる。n=23 ならば、p = 0.0611...である。nが253のときに初めてpが0.5以上となる。


答えが2通りでてきました

・・・あれ?

現実的に考えると
①の場合、23人集まっただけで同じ誕生日の組ができるとは思えないし、
②の場合も、253人は集まりすぎだと思う

しかし、この2つは数学的見地において両方とも正しい
・・・はずである

以下コピペ

この誕生日問題の考え方は、誕生日攻撃と呼ばれる暗号解読法に利用されている。 ハッシュ関数の出力の長さが、Nビットであるときには、2Nではなく、2N/2程度の文字列を試すことで同じハッシュ値を持つ文字列を見つけ出せる可能性が高い。 これは、ハッシュ関数の出力はある程度の長さを持つ必要があることを示している。



だそうです

数学にはいまだ解明できない謎があるんだな・・・
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